とあるゲーム作品にて，中でレール砲を使って超遠方にあるものを贈る救済計画なるものが出てきた．

　下記スクショの通り，レール法の射程は3000kmとあり，それを為すのに必要な弾の初速がふと気になった．そこで，最も単純な物理モデルで，大まかな値を調べた．実は今回適用するモデルは高等学校物理で学ぶものであり，初速算出だけなら手計算で可能．しかし，今後物理モデルを複雑・高度化する可能性や，弾道など初速以外を観られるようにと，Modelicaでモデルを作成した．

ふむ贈与、か….こんな感じ↓?
刺激的でラディカルなお届け物。 pic.twitter.com/a2svVbTaJV

— zeta_plusplus (@zeta_plusplus) November 17, 2022

　＊”贈与”はこの当時少しだけホットになっていた話題であり，本当は作品には関係無い．

• 3000 km を弾道で飛ばすのに必要な弾の初速を，Modelicaでモデルを作成して算出した．
• 物理モデルは本文に記す通り，高等学校物理で学ぶ，スタートに適した最も単純なもの．
• 必要初速は5 km/s を超過しており，現在一般に語られているレール砲の持つ能力より遥かに高い．よって現存のレール砲の技術では実現は困難と考えられる．
　ここの記述によると，米海軍は艦船用レール砲の開発にて，砲弾初速2.5 [km/s]を目標にしていたとの事．

目次
1. 質点の放物運動
   1. 仮定・前提
   2. 支配方程式
2. 手計算による必要初速求解
   1. 初速算出式の導出
   2. 具体的数値の代入
3. Diagram
4. モデルのソースコード
5. Parameters（主要な固定値input）
6. シミュレーションモデル情報
7. Input
8. Variables

質点の放物運動

　解くのは非常にシンプルな2次元質点の運動問題．高等学校物理で一番最初に学ぶもの．
　下図の通り，大きさ・形状を無視した物体に初速を与え，重力だけを受けて放物運動をして落下する．

仮定・前提

1. 弾体は質点．
2. 運動を考慮するのは，高さ方向と，砲を放った水平方向のみ．（2次元の運動）
3. 発砲位置，目標点に，高さは0 [m]
4. 弾体に働く外力は重力のみ．
5. 重力加速度は一定（万有引力の方程式は適用しない）．
　万有引力の方程式では重力加速度の大きさは２つの質点間の距離に依存するが．地球中心から地表の距離に比べて，弾体が飛翔する高度は非常に小さいのでこの影響を無視する．
6. (上記と連動して)地表を平面として扱う．
7. 投射仰角は45 [deg]．上記を満たす場合，弾体が地面に達するまでに飛翔する距離を最大化するのがこの角度であるのは既知の事実．

支配方程式

　最低限必要な支配方程式は下記の通り．非常に単純で，2方向の変位についての2階の時間微分と，加速度一定の式のみで成る．
$$\begin{array}{c}\frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}=V_x\\ \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=V_y\\ \frac{{\mathit{dV}}_x}{\mathit{dt}}=a_x\\ \frac{{\mathit{dV}}_y}{\mathit{dt}}=a_y\\ a_x=0.0\\ a_y=-1.0\ast g\end{array}$$
g: 地表での地球の重力加速度，9.81 [m/s2]
　　
　上記に加えて，最初の瞬間（t=0 [s]）については投射確度について，下記の初期方程式(initial equation)が成立する．
$$\begin{array}{c}{V}_{x0}=V_{\mathit{init}}\ast \cos ({\alpha }_0)\\ V_{y0}=V_{\mathit{init}}\ast \sin ({\alpha }_0)\end{array}$$
　　
　これらを時間積分して，各方向の速度，変位を算出すると，高等学校物理で学ぶ馴染み深い放物運動の公式となる．
$$\begin{array}{c}{V}_y(t)=V_{\mathit{init}}\ast \sin ({\alpha }_0)-g\ast t\\ y(t)=V_{\mathit{init}}\ast \sin ({\alpha }_0)\ast t-\frac{1}{2}\ast g\ast t^2+y_0\\ V_x(t)=V_{\mathit{init}}\ast \cos ({\alpha }_0)\\ x(t)=V_{\mathit{init}}\ast \cos ({\alpha }_0)\ast t+x_0\end{array}$$
　　

手計算による必要初速求解

初速算出式の導出

　前項の方程式を変形すると，任意の射程距離を得るために弾体に必要な初速を求める式が解析的に得られる．

　まず，投射した弾体が地表に着弾する時刻を算出する．これは，投射の瞬間以外で弾体高度が0となる時刻なので下記の通り算出される．（式変形の詳細は省略）

$$\begin{array}{c}y(t_{\mathit{imp}})=0.0\\ t_{\mathit{imp}}\ast (V_0\ast \sin ({\alpha }_0)-\frac{1}{2}\ast g\ast t_{\mathit{imp}})=0.0\\ t_{\mathit{imp}}=\frac{1}{g}\ast 2\ast V_0\ast \sin ({\alpha }_0)\end{array}$$

　　

　そして，この時刻における水平方向の変位が射程距離であることからなる等式を変形して，必要初速は下記の通り算出される．（式変形の詳細は省略）

$$\begin{array}{c}\mathit{range}=x(t_{\mathit{imp}})\\ V_0\ast \cos ({\alpha }_0)\frac{1}{g}\ast 2.0\ast V_0\ast \sin ({\alpha }_0)=\mathit{range}\\ ⋮\\ V_0=\sqrt{\frac{g\ast \mathit{range}}{2.0\ast \sin ({\alpha }_0)\ast \cos ({\alpha }_0)}}\end{array}$$

　　

具体的数値の代入

　前項で得られた解の式に，冒頭で述べた具体的数値を下記の通り与えて必要初速の値を算出する．

$$\begin{array}{c}\mathit{range}=3000\ast {10}^3[m]\\ {\alpha }_0=\frac{\pi }{4}[\mathit{rad}]\end{array}$$

　　

　必要初速は下記となる．その値は米海軍が目標としていたとされる2.5 [km/s] の2倍を上回る大きさである．

$$V_0=5425[m/s]$$